有限差分法

在数学中，有限差分法（finite-difference methods，简称FDM），是一种微分方程数值方法，是通过有限差分来近似导数，从而寻求微分方程的近似解。

首先假设要近似函数的各级导数都有良好的性质，依照泰勒定理，可以形成以下的泰勒展开式：

f(x_0 + h) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}h + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}h^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}h^n + R_n(x),

其中n!表示是n的阶乘，R_n(x)为余数，表示泰勒多项式和原函数之间的差。可以推导函数f一阶导数的近似值：

f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)h + R_1(x),

设置x₀=a，可得：

f(a+h) = f(a) + f'(a)h + R_1(x),

除以h可得：

{f(a+h)\over h} = {f(a)\over h} + f'(a)+{R_1(x)\over h}

求解f'(a)：

f'(a) = {f(a+h)-f(a)\over h} - {R_1(x)\over h}

假设 $R_1(x)$ 相当小，因此可以将"f"的一阶导数近似为：

f'(a)\approx {f(a+h)-f(a)\over h}.

单词	Finite difference method
释义	Finite difference method 中文百科有限差分法在数学中，有限差分法（finite-difference methods，简称FDM），是一种微分方程数值方法，是通过有限差分来近似导数，从而寻求微分方程的近似解。首先假设要近似函数的各级导数都有良好的性质，依照泰勒定理，可以形成以下的泰勒展开式： $f(x_0 + h) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}h + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}h^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}h^n + R_n(x),$ 其中n!表示是n的阶乘，R_n(x)为余数，表示泰勒多项式和原函数之间的差。可以推导函数f一阶导数的近似值： $f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)h + R_1(x),$ 设置x₀=a，可得： $f(a+h) = f(a) + f'(a)h + R_1(x),$ 除以h可得： ${f(a+h)\over h} = {f(a)\over h} + f'(a)+{R_1(x)\over h}$ 求解f'(a)： $f'(a) = {f(a+h)-f(a)\over h} - {R_1(x)\over h}$ 假设 $R_1(x)$ 相当小，因此可以将"f"的一阶导数近似为： $f'(a)\approx {f(a+h)-f(a)\over h}.$ 英语百科 Finite difference method 有限差分法 In mathematics, finite-difference methods (FDM) are numerical methods for solving differential equations by approximating them with difference equations, in which finite differences approximate the derivatives. FDMs are thus discretization methods. Today, FDMs are the dominant approach to numerical solutions of partial differential equations.
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