一次变分

在应用数学与变分法里，一个泛函 $J(y)\,$ 的一次变分定义为 $\delta J(y, h)= \frac{d}{d\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon = 0}\,$ 。

计算 $J(y)=\int_a^b yy' dx\,$ 的一次变分？

$\delta J(y, h)\,$	$= \frac{d}{d\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\left.\right\|_{\varepsilon = 0}$
	$= \frac{d}{d\varepsilon} \int_a^b (y + \varepsilon h)(y^\prime + \varepsilon h^\prime) \ dx\left.\right\|_{\varepsilon = 0}$
	$= \frac{d}{d\varepsilon} \int_a^b (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \ dx\left.\right\|_{\varepsilon = 0}$
	$= \int_a^b \frac{d}{d\varepsilon} (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \ dx\left.\right\|_{\varepsilon = 0}$
	$= \int_a^b (yh^\prime + y^\prime h + 2\varepsilon hh^\prime) \ dx\left.\right\|_{\varepsilon = 0}$
	$= \int_a^b (yh^\prime + y^\prime h) \ dx$

First variation