高斯曲率

Tres superficies con curvatura gaussiana negativa (izquierda), cero (centro) y positiva (derecha).

Some points on the torus have positive, some have negative, and some have zero Gaussian curvature.

微分几何中，曲面上一点的高斯曲率是该点主曲率κ₁和κ₂的乘积。它是曲率的内在度量，也即，它的值只依赖于曲面上的距离如何测量，而不是曲面如何嵌入到空间。这个结果是高斯绝妙定理的主要内容。

用符号表示，高斯曲率K定义为

\Kappa = \kappa_1 \kappa_2 \,\!

.

也可以如下给出

\Kappa = \frac{\langle (\nabla_2 \nabla_1 - \nabla_1 \nabla_2)\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\rangle}{\det g},

其中 $\nabla_i = \nabla_{{\mathbf e}_i}$ 是协变导数而g是度量张量。

R中的正规曲面的一点p，则高斯曲率为

K(\mathbf{p}) = \det(S(\mathbf{p})),

其中S为形算子。

关于高斯曲率的一个很有用的公式是用等温坐标中的拉普拉斯算子表达的刘维尔方程。

单词	Gaussian curvature
释义	Gaussian curvature 中文百科高斯曲率微分几何中，曲面上一点的高斯曲率是该点主曲率κ₁和κ₂的乘积。它是曲率的内在度量，也即，它的值只依赖于曲面上的距离如何测量，而不是曲面如何嵌入到空间。这个结果是高斯绝妙定理的主要内容。用符号表示，高斯曲率K定义为 $\Kappa = \kappa_1 \kappa_2 \,\!$ . 也可以如下给出 $\Kappa = \frac{\langle (\nabla_2 \nabla_1 - \nabla_1 \nabla_2)\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\rangle}{\det g},$ 其中 $\nabla_i = \nabla_{{\mathbf e}_i}$ 是协变导数而g是度量张量。 R中的正规曲面的一点p，则高斯曲率为 $K(\mathbf{p}) = \det(S(\mathbf{p})),$ 其中S为形算子。关于高斯曲率的一个很有用的公式是用等温坐标中的拉普拉斯算子表达的刘维尔方程。英语百科 Gaussian curvature 高斯曲率 In differential geometry, the Gaussian curvature or Gauss curvature Κ of a surface at a point is the product of the principal curvatures, κ₁ and κ₂, at the given point: For example, a sphere of radius r has Gaussian curvature 1/r everywhere, and a flat plane and a cylinder have Gaussian curvature 0 everywhere. The Gaussian curvature can also be negative, as in the case of a hyperboloid or the inside of a torus.
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高斯曲率

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