初值定理

在数学分析中，初值定理是将时间趋于零时的频域表达式与时域行为创建联系的定理。

它简称为IVT。

令

F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,dt

为 ƒ(t) 的（单边）拉普拉斯变换。初值定理表明

\lim_{t\to 0}f(t)=\lim_{s\to\infty}{sF(s)}. \,

基于导数的拉普拉斯变换，我们有：

sF(s)=f(0^-)+\int_{t=0^-}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt

因此：

\lim_{s \to \infty} sF(s)=\lim_{s \to \infty} \left[f(0^-)+\int_{t=0^-}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt\right]

但在 t=0 到 t=0 之间， $\lim_{s \to \infty}e^{-st}$ 是不确定的；为了避免这种情况，可以通过对两段区间分别积分求得：

\lim_{s \to \infty} \left[\int_{t=0^-}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt\right] =\lim_{s \to \infty}\left\{\lim_{\epsilon \to 0^+}\left[\int_{t=0^-}^{\epsilon}e^{-st}f^{'}(t)dt\right] + \lim_{\epsilon \to 0^+}\left[\int_{t=\epsilon}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt\right]\right\}

在第一个表达式中 0<t<0, e=1。在第二个表达式中，可以交换积分和取极限的次序。同时在 0<t<∞ 时 $\lim_{s \to \infty}e^{-st}(t)$ 为零。故：

\begin{align} \lim_{s \to \infty} \left[\int_{t=0^-}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt\right] &=\lim_{s \to \infty}\left\{\lim_{\epsilon \to 0^+}\left[\int_{t=0^-}^{\epsilon}f^{'}(t)dt\right]\right\} + \lim_{\epsilon \to 0^+}\left\{\int_{t=\epsilon}^{\infty}\lim_{s \to \infty}\left[e^{-st}f^{'}(t)dt\right]\right\}\\ &=f(t)|_{t=0^-}^{t=0^+} + 0\\ &= f(0^+)-f(0^-)+0\\ \end{align}

通过用这个结果在主方程中进行代换就得到：

\lim_{s \to \infty} sF(s)=f(0^-)+f(0^+)-f(0^-)=f(0^+)

单词	Initial value theorem
释义	Initial value theorem 中文百科初值定理在数学分析中，初值定理是将时间趋于零时的频域表达式与时域行为创建联系的定理。它简称为IVT。令 $F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,dt$ 为 ƒ(t) 的（单边）拉普拉斯变换。初值定理表明 $\lim_{t\to 0}f(t)=\lim_{s\to\infty}{sF(s)}. \,$ 基于导数的拉普拉斯变换，我们有： $sF(s)=f(0^-)+\int_{t=0^-}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt$ 因此： $\lim_{s \to \infty} sF(s)=\lim_{s \to \infty} \left[f(0^-)+\int_{t=0^-}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt\right]$ 但在 t=0 到 t=0 之间， $\lim_{s \to \infty}e^{-st}$ 是不确定的；为了避免这种情况，可以通过对两段区间分别积分求得： $\lim_{s \to \infty} \left[\int_{t=0^-}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt\right] =\lim_{s \to \infty}\left\{\lim_{\epsilon \to 0^+}\left[\int_{t=0^-}^{\epsilon}e^{-st}f^{'}(t)dt\right] + \lim_{\epsilon \to 0^+}\left[\int_{t=\epsilon}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt\right]\right\}$ 在第一个表达式中 0<t<0, e=1。在第二个表达式中，可以交换积分和取极限的次序。同时在 0<t<∞ 时 $\lim_{s \to \infty}e^{-st}(t)$ 为零。故： $\begin{align} \lim_{s \to \infty} \left[\int_{t=0^-}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt\right] &=\lim_{s \to \infty}\left\{\lim_{\epsilon \to 0^+}\left[\int_{t=0^-}^{\epsilon}f^{'}(t)dt\right]\right\} + \lim_{\epsilon \to 0^+}\left\{\int_{t=\epsilon}^{\infty}\lim_{s \to \infty}\left[e^{-st}f^{'}(t)dt\right]\right\}\\ &=f(t)\|_{t=0^-}^{t=0^+} + 0\\ &= f(0^+)-f(0^-)+0\\ \end{align}$ 通过用这个结果在主方程中进行代换就得到： $\lim_{s \to \infty} sF(s)=f(0^-)+f(0^+)-f(0^-)=f(0^+)$ 英语百科 Initial value theorem 初值定理 In mathematical analysis, the initial value theorem is a theorem used to relate frequency domain expressions to the time domain behavior as time approaches zero. It is also known under the abbreviation IVT. Let be the (one-sided) Laplace transform of ƒ(t). The initial value theorem then says
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