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单词 Liouville function
释义

Liouville function

中文百科

刘维尔函数

L(n)的图象，n=1 至 10000

刘维尔函数\lambda(n)是算术函数。对于正整数n，

其中\Omega(n)表示n的质因子数目（可重复）。因为\Omega(n)是完全加性函数，所以\lambda(n)是完全积性函数。（OEIS:A008836）

对于狄利克雷卷积，\lambda的逆函数为|\mu(n)|，其中\mu为默比乌斯函数。

λ和μ的关系还有：\lambda(n) = \sum_{d^2 | n} \mu\left(\frac{n}{d^2}\right)

1919年，乔治·波利亚猜想对于正整数n>1，L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k) \leq 0。1980年，田中实找到反例n=906150257。

英语百科

Liouville function 刘维尔函数

Summatory Liouville function L(n) up to n = 104. The readily visible oscillations are due to the first non-trivial zero of the Riemann zeta function.
Summatory Liouville function L(n) up to n = 107. Note the apparent scale invariance of the oscillations.
Logarithmic graph of the negative of the summatory Liouville function L(n) up to n = 2 × 109. The green spike shows the function itself (not its negative) in the narrow region where the Pólya conjecture fails; the blue curve shows the oscillatory contribution of the first Riemann zero.
Harmonic Summatory Liouville function T(n) up to n = 103

The Liouville function, denoted by λ(n) and named after Joseph Liouville, is an important function in number theory.

If n is a positive integer, then λ(n) is defined as:

where Ω(n) is the number of prime factors of n, counted with multiplicity (sequence A008836 in OEIS).
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更新时间：2025/6/22 23:24:06