幂集公理

在数学中，幂集公理是公理化集合论的Zermelo-Fraenkel公理之一。

在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中，这个公理读做：

\forall A, \exists\; {\mathcal{P}(A)}, \forall x: x \in {\mathcal{P}(A)} \iff(\forall y: y \in x \implies y \in A)

或简写为：

\forall A, \exists\; {\mathcal{P}(A)}, \forall x: x \in {\mathcal{P}(A)} \iff x \subseteq A

换句话说：

给定任何集合A，有着一个集合

\mathcal{P}(A)

使得，给定任何集合B，B是

\mathcal{P}(A)

的成员，当且仅当B是A的子集。

通过外延公理可知这个集合是唯一的。我们可以称集合 $\mathcal{P}(A)$ 是A的幂集。所以这个公理的本质是：

所有集合都有一个幂集。

幂集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命题出现在所有可替代的集合论的公理化中。

单词	Axiom of power set
释义	Axiom of power set 中文百科幂集公理在数学中，幂集公理是公理化集合论的Zermelo-Fraenkel公理之一。在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中，这个公理读做： $\forall A, \exists\; {\mathcal{P}(A)}, \forall x: x \in {\mathcal{P}(A)} \iff(\forall y: y \in x \implies y \in A)$ 或简写为： $\forall A, \exists\; {\mathcal{P}(A)}, \forall x: x \in {\mathcal{P}(A)} \iff x \subseteq A$ 换句话说：给定任何集合A，有着一个集合 $\mathcal{P}(A)$ 使得，给定任何集合B，B是 $\mathcal{P}(A)$ 的成员，当且仅当B是A的子集。通过外延公理可知这个集合是唯一的。我们可以称集合 $\mathcal{P}(A)$ 是A的幂集。所以这个公理的本质是：所有集合都有一个幂集。幂集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命题出现在所有可替代的集合论的公理化中。英语百科 Axiom of power set 幂集公理 In mathematics, the axiom of power set is one of the Zermelo–Fraenkel axioms of axiomatic set theory. In the formal language of the Zermelo–Fraenkel axioms, the axiom reads: where P stands for the Power set of A, $\mathcal{P}(A)$ . In English, this says: More succinctly: for every set $A$ , there is a set $\mathcal{P}(A)$ consisting precisely of the subsets of $A$ .
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